Kitab Apollonius tentang Keratan Kon

### [kitab 1: Definisi] al-Hudud

(1) Apabila sesuatu titik dihubungkan dengan garis lilitan bulatan dengan satu garis lurus, dan titik itu serta bulatan tidak berada pada satu permukaan, lalu garis lurus itu dipanjangkan pada kedua arah, titik itu ditetapkan supaya tidak berubah, dan garis lurus itu diputarkan mengelilingi garis lilitan bulatan sehingga kembali ke kedudukan asalnya yang pertama — maka aku namakan setiap satu daripada dua permukaan yang dilukis oleh garis yang berputar itu sebagai laluannya, dan setiap satu daripadanya bertentangan dengan pasangannya serta boleh bertambah tanpa had apabila garis lurus itu keluar tanpa had — sebagai permukaan kon. (2) Titik yang tetap itu ialah puncak bagi setiap satu daripada dua permukaan kon itu. (3) Aku namakan garis lurus yang melalui titik ini dan melalui pusat bulatan sebagai paksi permukaan kon. (4) Aku namakan bentuk yang dibatasi oleh bulatan dan bahagian permukaan kon antara titik puncak dengan bulatan sebagai kon. (5) Aku namakan titik yang menjadi puncak permukaan kon itu sebagai puncak kon juga. (6) Aku namakan garis lurus yang keluar dari puncak kon ke pusat bulatan sebagai paksi kon. (7) Aku namakan bulatan itu sebagai tapak kon. (8) Aku namakan kon itu kon tegak sekiranya paksinya tegak atas tapaknya pada [ج1 ص4] sudut-sudut tepat. (9) Aku namakannya condong sekiranya paksinya tidak tegak atas tapaknya pada sudut-sudut tepat. (10) Setiap garis melengkung yang berada pada satu permukaan rata, dan dari satu titik padanya keluar satu garis lurus pada permukaannya yang memotong semua garis yang keluar pada garis melengkung itu dan hujung-hujungnya berakhir padanya, serta selari dengan satu garis tertentu, tepat pada dua bahagian yang sama — maka aku namakan garis lurus itu sebagai diameter bagi garis melengkung itu. (11) Aku namakan hujung garis lurus yang berada pada garis melengkung itu sebagai puncak bagi garis melengkung itu. (12) Aku namakan garis-garis selari yang kami sifatkan itu sebagai garis-garis tertib bagi diameter itu. (13) Demikian juga, apabila terdapat dua garis melengkung pada satu permukaan, aku namakan garis lurus yang terletak antara dua garis melengkung itu, yang memotong semua garis lurus yang keluar pada setiap satu daripada dua garis melengkung itu yang selari dengan satu garis tertentu tepat pada dua bahagian yang sama, sebagai diameter pasangan. (14) Aku namakan dua hujung diameter pasangan yang berada pada dua garis melengkung itu sebagai dua puncak bagi dua garis melengkung itu. (15) Aku namakan garis lurus yang terletak antara dua garis melengkung itu, yang tegak atas diameter pasangan dan memotong semua garis lurus yang selari dengan diameter pasangan itu apabila dipanjangkan antara dua garis melengkung itu sehingga hujung-hujungnya berakhir pada dua garis melengkung itu tepat pada dua bahagian yang sama, sebagai diameter tegak. (16) Aku namakan garis-garis selari ini sebagai garis-garis tertib bagi diameter tegak itu. (17) Apabila terdapat dua garis lurus yang menjadi dua diameter bagi satu garis melengkung atau bagi dua garis melengkung, dan setiap satu daripadanya memotong garis-garis yang selari dengan yang lain tepat pada dua bahagian yang sama, maka aku [ج1 ص5] namakan keduanya sebagai dua diameter berpasangan. (18) Aku namakan garis lurus itu, apabila ia menjadi diameter bagi garis melengkung atau bagi dua garis melengkung dan memotong garis-garis selari yang menjadi garis-garis tertib baginya pada sudut-sudut tepat, sebagai paksi bagi garis melengkung atau bagi dua garis melengkung itu. (19) Aku namakan dua diameter itu, apabila keduanya berpasangan dan setiap satu daripadanya memotong garis-garis yang selari dengan yang lain pada sudut-sudut tepat, sebagai dua paksi berpasangan bagi garis melengkung atau bagi dua garis melengkung itu.* [ج1 ص0] 6

### [kitab 2: 5] Artikel Kelima daripada Kitab Apollonius tentang Kon — terjemahan Thabit bin Qurrah dan pembetulan Bani Musa

Daripada Apollonius kepada Attalus, salam sejahtera ke atasmu. Sesungguhnya aku telah meletakkan dalam artikel kelima ini bentuk-bentuk berkenaan garis-garis besar dan kecil. Hendaklah diketahui bahawa mereka yang mendahului kami dan mereka yang berada pada zaman kami ini hanyalah meninjau secara sepintas lalu sahaja terhadap yang kecil daripadanya, dan dengan itu mereka menjelaskan garis lurus manakah yang menyentuh keratan-keratan, dan sebaliknya juga — iaitu apakah yang berlaku kepada garis-garis yang menyentuh keratan-keratan itu; apabila ia berlaku, maka garis-garis itu menjadi garis menyentuh. Adapun kami, kami telah menjelaskan perkara-perkara ini dalam artikel pertama tanpa menggunakan perkara garis-garis kecil untuk menjelaskannya. Kami ingin menjadikan kedudukannya hampir dengan tempat kami menyebut tentang kejadian tiga jenis keratan, supaya kami menjelaskan dengan itu bahawa pada setiap satu daripada keratan-keratan itu terdapat perkara yang berlaku dan menyertainya yang tidak terhingga bilangannya, sebagaimana yang berlaku pada diameter-diameter pertama. Adapun bentuk-bentuk yang kami bicarakan berkenaan garis-garis kecil, kami mengasingkannya dan memisahkannya secara berasingan setelah penyelidikan yang banyak, dan kami sertakan perbincangan mengenainya bersama perbincangan tentang garis-garis besar yang kami sebutkan [ج1 ص7] sebentar tadi, kerana kami melihat keperluan penuntut ilmu ini kepadanya dalam mengetahui pembahagian masalah, penguraiannya dan penyusunannya, di samping apa yang ada padanya sendiri iaitu ia merupakan salah satu perkara yang layak diteliti. Wassalam.*

(a) Apabila terdapat keratan hiperbola atau elips, dan pada hujung salah satu diameternya didirikan separuh sisi tegak bagi diameter itu pada sudut tepat, lalu dari hujungnya dikeluarkan satu garis ke pusat keratan, dan dari satu kedudukan pada keratan dikeluarkan satu garis tertib ke diameter itu — maka garis ini berkuasa atas dua kali permukaan bersisi empat yang dibina atas separuh sisi tegak itu, sebagaimana yang kami sebutkan dalam contoh. Maka hendaklah keratan hiperbola atau elips itu AB, diameternya BG, pusatnya D, sisi tegak bagi diameter BE, dan separuh BE ialah BH. Kami sambungkan garis DH, kami keluarkan garis tertib ke atasnya iaitu AZ, dan kami keluarkan dari titik Z satu garis yang selari dengan garis BE iaitu ZT. Maka aku katakan bahawa segi empat sama yang terhasil daripada AZ adalah contohnya permukaan BZTH. Buktinya: kami keluarkan dari titik E garis EG. Maka garis DH selari dengan garis GE, kerana garis-garis GB dan BE telah dibahagi dua pada titik D dan H. Kami panjangkan garis ZT ke K, maka TK selari dengan garis HE, maka ia sama dengannya. Dan HE seperti BH, maka BH seperti TK. Kami jadikan ZT sebagai sisi yang dikongsi, maka garis ZK sama dengan BH dan ZT digabungkan. Maka hasil darab ZK dengan BZ sama dengan hasil darab BH dan ZT digabungkan dengan BZ. Tetapi permukaan yang terhasil daripada darab KZ dengan BZ sama dengan segi empat sama garis AZ, sebagaimana yang telah lalu dalam Bentuk (12) daripada (1) dan Bentuk (13) daripadanya. Maka permukaan yang terhasil daripada darab BH dan ZT digabungkan dengan BZ sama dengan segi empat sama AZ. Dan permukaan yang terhasil daripada darab [ج1 ص8] BH dan ZT digabungkan dengan BZ adalah contohnya permukaan BZTH. Maka segi empat sama yang terhasil daripada AZ adalah contohnya permukaan BZTH.*

(b) Jika garis yang keluar pada tertib itu terletak pada titik D yang merupakan pusat pada keratan elips, dan dijadikan BE dua kali BZ, lalu disambungkan garis DZ — maka segi empat sama yang terhasil daripada AD adalah contohnya segi tiga BZD. Buktinya: kami sambungkan garis GE, maka BZ seperti ZE, dan ZE seperti DH yang selari dengan BE. Maka hasil darab DH dengan DB adalah dua kali segi tiga DZB. Dan hasil darab DH dengan DB sama dengan segi empat sama yang terhasil daripada AD, sebagaimana yang telah dijelaskan dalam Bentuk 13 daripada 1. Maka segi empat sama yang terhasil daripada AD adalah contohnya segi tiga ZBD.*

(c) Jika garis yang keluar pada tertib pada keratan elips itu terletak pada arah yang lain daripada titik D yang merupakan pusat, seperti garis AZ, dan dijadikan separuh BE yang merupakan sisi tegak itu BH, lalu disambungkan garis HD dan dipanjangkan pada garis lurus, dan dari titik Z dikeluarkan satu garis yang selari dengan garis BE sehingga bertemu garis HD iaitu ZT — maka segi empat sama yang terhasil daripada AZ adalah contohnya selisih antara dua segi tiga BDH dan DZT. Buktinya: kami keluarkan dari titik G satu garis yang selari dengan garis BE iaitu GK, kami panjangkan HD sehingga bertemu garis GK pada titik K, kami sempurnakan keratan AB, dan kami panjangkan AZ pada garis lurus ke L. Maka segi empat sama ZL adalah dua kali permukaan GKZT, sebagaimana yang telah dijelaskan dalam Bentuk 1 daripada artikel ini. Dan garis ZL seperti garis AZ. Maka segi empat sama yang terhasil daripada AZ adalah contohnya permukaan GKZT yang bersisi empat. Dan permukaan GKZT adalah selisih antara segi tiga GKD dan segi tiga DZT. Tetapi segi tiga GKD [ج1 ص9] sama dengan segi tiga DBH, kerana DK seperti DH. Maka segi empat sama yang terhasil daripada AZ adalah contohnya selisih antara dua segi tiga DBH dan DZT. Itulah yang kami hendak jelaskan.*

(d) Apabila ditentukan satu titik pada paksi keratan parabola, dan jaraknya dari puncak keratan sama dengan separuh sisi tegak, lalu dari titik itu dikeluarkan garis-garis ke keratan — maka yang paling kecil daripadanya ialah garis yang keluar ke puncak keratan, dan yang hampir kepadanya lebih kecil daripada yang jauh, dan kuasa dua garis-garis itu lebih besar daripada kuasa duanya dengan seumpama segi empat sama yang terhasil daripada darab apa yang dipisahkan oleh garis-garis tegak yang jatuh atas paksi dari hujung setiap garis daripadanya daripada paksi, iaitu bahagian yang menghadap puncak keratan. Maka hendaklah paksi keratan parabola itu GE, dan hendaklah GZ sama dengan separuh sisi tegak. Kami keluarkan dari titik Z ke keratan ABG garis-garis ZH, ZT, ZB, ZA. Maka aku katakan bahawa garis yang paling kecil yang keluar dari titik Z ke keratan ABG ialah garis GZ, dan yang hampir kepadanya lebih kecil daripada yang jauh, dan setiap satu daripadanya berkuasa atas segi empat sama yang terhasil daripada GZ bersama segi empat sama yang terhasil daripada garis antara titik G dengan tempat jatuh garis tegaknya. Buktinya: kami keluarkan garis-garis tegak HK, TL, dan hendaklah separuh sisi tegak itu GM. Maka garis GZ sama dengan garis GM. Dan hasil darab GM dengan GK dua kali sama dengan segi empat sama yang terhasil daripada HK, sebagaimana yang telah dijelaskan dalam Bentuk 11 daripada 1. Dan hasil darab GM dengan GK dua kali sama dengan hasil darab ZG dengan GK dua kali. Dan segi empat sama yang terhasil daripada KH sama dengan hasil darab GZ dengan GK dua kali. Dan hasil darab GZ dengan GK dua kali bersama segi empat sama KZ sama dengan dua segi empat sama yang terhasil [ج1 ص10] daripada ZK dan KH. Dan dua segi empat sama ini sama dengan segi empat sama ZH. Maka hasil darab ZG dengan GK dua kali bersama segi empat sama ZK sama dengan segi empat sama ZH. Maka segi empat sama ZH lebih besar daripada segi empat sama ZG dengan seumpama segi empat sama GK. Dan daripada ini jelaslah bahawa TZ lebih besar daripada ZH, dan ZH daripada ZG. Maka garis ZG adalah yang terpendek, dan yang hampir kepadanya lebih pendek daripada yang jauh. Dan jelaslah bahawa selisih antara segi empat sama setiap satu daripadanya dengan segi empat sama garis terpendek adalah seumpama segi empat sama yang terhasil daripada garis yang dipisahkan oleh garis-garis tegak yang jatuh dari hujung-hujungnya atas paksi, iaitu bahagian yang menghadap puncak keratan. Itulah yang kami hendak jelaskan.*